Un exercice de géométrie

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Normale au cercle et à une courbe y=f(x)

> implicitplot((x-1)^2+(y-5)^2=1,x=-1..3,y=4..6);

> f:=x->1/(1+x^2):plot(f,-2..2);

> display(plot(f,-2..3),implicitplot((x-1)^2+(y-5)^2=1,x=-1..3,y=4..6));

> normale:=x0->x+y*D(f)(x0)=x0+f(x0)*D(f)(x0);

> normale(-1);

> display(plot(f,-2..3),implicitplot((x-1)^2+(y-5)^2=1,x=-1..3,y=4..6),implicitplot(normale(-1),x=-2..3,y=0..6));

> display(plot(f,-3..4),implicitplot((x-1)^2+(y-5)^2=1,x=-1..3,y=4..6),seq(implicitplot(normale(k/5),x=-3..4,y=0..6),k=-15..15));

Regardons ça au voisinage de 0...

> display(plot(f,-3..4),implicitplot((x-1)^2+(y-5)^2=1,x=-1..3,y=4..6),seq(implicitplot(normale(k/40),x=-3..4,y=0..6),k=0..10));

> subs({x=1,y=5},normale(x0));

> fsolve(%);

Normale à un ellipsoïde et une surface z=f(x,y)

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> display3d(plot3d(1/(1+x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2),implicitplot3d(2*x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=1,x=-2..2,y=-2..2,z=4..6,numpoints=3000));

Le plan d'équation x=0 est plan de symétrie : il est donc raisonnable de regarder ce qui se passe dans ce plan...

> display(plot(1/(1+y^2),y=-2..2),implicitplot((y-1)^2+(z-5)^2=1,y=-2..2,z=4..6,numpoints=500));

Ca vous rappelle quelque chose ?
N.B. : si x<>0, on peut voir que la normale à z=f(x,y) en (x,y) va s'éloigner de x=0 lorsque z augmente : aucune chance alors d'être tangent à l'ellipsoïde... Il y a donc unicité de la normale commune